Epäyhtälö: oikeasti suuremmuus

Sanaa epäyhtälö tuskin voidaan muuttaa, mutta se on kummallinen ja ehkä harhaan­johtavakin nimitys. Se tarkoittaa lauseketta, joka sanoo jonkin lau­sek­keen arvon olevan suurempi (taikka suurempi tai yhtä suuri) kuin toisen lausekkeen arvo, esimerkiksi x + y < z.

Suuremmuutta koskeva lauseke

Lukiotason matematiikan tietosanakija Matta kuvaa kohdassa Epäyhtälö käsitettä seuraavasti:

Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) < g(x). Merkit voidaan luonnollisesti kirjoittaa myös toisinpäin: g(x) > f(x), g(x) > f(x).

Kuvaus vastaa MathWorldin kuvausta sanasta inequality. Asia voidaan ilmaista myös niin, että epäyhtälö on matemaattinen lauseke, jonka ylimmän tason operaattori on < (pienempi kuin), > (suurempi kuin), ≤ (pienempi tai yhtä suuri kuin) tai ≥ (suurempi tai yhtä suuri kuin).

Epäyhtälö-sanan harhaanjohtavuus

Sana epäyhtälö, joka lienee lähinnä käännöslaina saksan sanasta Ungleichung (ehkä ruotsin sanan olikhet kautta), on siis aika harhaan-johtava. Taustalla on ehkä ajatus, että epäyhtälö on jollain tapaa yhtälön kaltainen, mutta ei yhtälö. Nimen perusteella on kuitenkin saatettu päätellä, että kyse olisi nimenomaan epäyhtäläisyydestä (erisuuruudesta) kuten lausekkeessa x ≠ y tai että ainakin myös tällainen lauseke olisi epäyhtälö.

Sana epäyhtäläinen ei ole kovin tavallinen, ja voidaankin ajatella, että sanaa epäyhtälö ei perustu siihen, vaan on vain liitetty sana epä sana yhtälö eteen. Tämä ei kuitenkaan merkitse sanan suurempaa johdon­mukaisuutta.

Yleensä etuliite epä merkitsee yksinkertaista negaatiota, joka useimmiten liittyy adjek­tii­viin, kuten sanoissa epäselvä ja epälojaali. Esimerkiksi epämetalli tarkoittaa alkuainetta, joka ei ole (jonkin määritelmän mukaan) metalli, ei suinkaan jotain, joka muistuttaa metallia, mutta ei ole metalli. Niinpä epäyhtälö loogisesti merkitsisi mitä tahansa, mikä ei ole yhtälö, siis esimerkiksi vakiota, muuttujaa tai lauseketta, jossa ylin operaattori ei ilmaise mitään vertailua. Kuitenkin epäyhtälö on kai sepitetty tarkoittamaan lauseketta, joka on kuin yhtälö, mutta yhtäläisyys­merkin tilalla on esimerkiksi pienemmyys­merkki.

Sanakirjojen oudot kuvaukset

Esimerkiksi Kielitoimiston sanakirjan epäyhtälö -artikkeli kuvasi sanan aiemmin näin: ”mat. kahden lausekkeen erisuuruutta ilmaiseva kaava.” Tämä aika epäonnistunut muotoilu lienee syntynyt muuntamalla Nykysuomen sanakirjan vastaavaa kuvausta: ”kaksi erisuuruisiksi merkittyä jäsentä sisältävä lauseke, esim. a < b”. Kieli­toimiston sana­kirjan uudemmassa, vuoden 2020 versiossa muotoilu on vielä huonompi: ”kaksi lauseketta, jotka on merkitty eri suuriksi”; kyseessähän on kuitenkin yksi lauseke.

Erisuuruudestahan tässä ei ole kyse, vaan siitä, että toinen on suurempi kuin toinen, vieläpä niin, että usein yhtäsuuruuden mahdollisuus on mukana lausekkeessa.

Loogisesti tietysti siitä, että a < b, seuraa a:n ja b:n erisuuruus; tämä johtuu suoraan järjestys­relaation määritelmästä. Mutta tämä ei merkitse, että kyse olisi samasta asiasta. Useimmissa tilanteissa, joissa epäyhtälöitä esitetään, ei niinkään ole kyse siitä, onko lausekkeilla sama arvo vai ei, vaan siitä, kumman arvo on suurempi.

Sekaannusta muissakin kielissä

Epäyhtälö-sanaa lähinnä vastaava englannin sana on inequality, ja Merriam-Websterin kuvaus siitä sanoo (tässä yhteydessä merkityksellisessä vaihtoehdossa) ”a formal statement of inequality between two quantities usually separated by a sign of inequality (such as <, >, or ≠ signifying respectively is less than, is greater than, or is not equal to)”.

Voiko epäyhtäläisyysmerkillä muodostaa epäyhtälön?

Onko siis x ≠ y epäyhtälö? Tai mikä on epäyhtälön tarkka määritelmä? Vastaukset vaikuttavat vain siihen, miten puhumme matemaattisista ilmauksista suomeksi, eivät mitenkään mate­ma­tii­kan sisältöön tai edes merkintä­tapoihin. Koko epäyhtälön käsite voitaisiin jättää pois matematiikasta, koska kyse on vain tavasta puhua joistakin lauseketyypeistä.

Muotoa x ≠ y olevia ilmauksia kyllä käytetään, mutta yleensä epäyhtälöiksi sanotaan sellaisia lausekkeita, joissa on järjestysoperaattori mukana. Niillä on paljon suurempi merkitys matematiikassa, fysiikassa ym.

Epäyhtäläisyysmerkki (erisuuruusmerkki) ”≠” ole mitenkään harvinainen matematiikan eri tasoilla. Se esiintyy kuitenkin useimmiten melko yksinkertaisissa lausekkeissa, esimerkiksi sellaisessa yhteydessä kuin ”jos x ≠ 0, niin …”. Tällaiset lausekkeet, toisin kuin esimerkiksi <-merkillä muodostetut, eivät yleensä esiinny ratkaistavina ongelmina. Esimerkiksi tyyppiä f(x) < g(x) oleva epäyhtälö voidaan ratkaista siinä mielessä, että selvitetään, millä x:n arvoilla se on tosi. Ratkaisemisessa voidaan käyttää osittain samoja menetelmiä kuin yhtälöiden rat­kai­se­mi­ses­sa, esimerkiksi termin siirtäminen puolelta toiselle sen merkki vaihtaen. Tässä mielessä suuremmus­lausekkeet ovat yhtälöiden kaltaisia, mutta eivät oikeasti mitään epäyhtälöitä.