Epäyhtälö: oikeasti suuremmuus

Sanaa epäyhtälö tuskin voidaan muuttaa, mutta se on kummallinen ja ehkä harhaan­johtavakin nimitys. Se tarkoittaa lauseketta, joka sanoo jonkin lausekkeen arvon olevan suurempi (taikka suurempi tai yhtä suuri) kuin toisen lausekkeen arvo, esimerkiksi x + y < z.

Lukiotason matematiikan tietosanakija Matta kuvaa kohdassa Epäyhtälö käsitettä seuraavasti:

Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) < g(x). Merkit voidaan luonnollisesti kirjoittaa myös toisinpäin: g(x) > f(x), g(x) > f(x).

Kuvaus vastaa MathWorldin kuvausta sanasta inequality. Asia voidaan ilmaista myös niin, että epäyhtälö on matemaattinen lauseke, jonka ylimmän tason operaattori on < (pienempi kuin), > (suurempi kuin), ≤ (pienempi tai yhtä suuri kuin) tai ≥ (suurempi tai yhtä suuri kuin).

Sana epäyhtälö, joka lienee lähinnä käännöslaina saksan sanasta Ungleichung, on siis aika harhaan-johtava. Taustalla on ehkä ajatus, että epäyhtälö on jollain tapaa yhtälön kaltainen, mutta ei yhtälö. Nimen perusteella on kuitenkin saatettu päätellä, että kyse olisi nimenomaan epäyhtäläisyydestä (erisuuruudesta) kuten lausekkeessa x ≠ y tai että ainakin myös tällainen lauseke olisi epäyhtälö.

Esimerkiksi Kielitoimiston sanakirjan epäyhtälö -artikkeli kuvaa sanan näin: ”mat. kahden lausekkeen erisuuruutta ilmaiseva kaava.” Tämä aika epäonnistunut muotoilu lienee syntynyt muuntamalla Nykysuomen sanakirjan vastaavaa kuvausta: ”kaksi erisuuruisiksi merkittyä jäsentä sisältävä lauseke, esim. a < b”. Erisuuruudestahan tässä ei ole kyse, vaan siitä, että toinen on suurempi kuin toinen, vieläpä niin, että usein yhtäsuuruuden mahdollisuus on mukana lausekkeessa.

Loogisesti tietysti siitä, että a < b, seuraa a:n ja b:n erisuuruus; tämä johtuu suoraan järjestys­relaation määritelmästä. Mutta tämä ei merkitse, että kyse olisi samasta asiasta. Useimmissa tilanteissa, joissa epäyhtälöitä esitetään, ei niinkään ole kyse siitä, onko lausekkeilla sama arvo vai ei, vaan siitä, kumman arvo on suurempi.

Epäyhtälö-sanaa lähinnä vastaava englannin sana on inequality, ja Merriam-Websterin kuvaus siitä sanoo (tässä yhteydessä merkityksellisessä vaihtoehdossa) ” a formal statement of inequality between two quantities usually separated by a sign of inequality (such as <, >, or ≠ signifying respectively is less than, is greater than, or is not equal to)”.

Onko siis x ≠ y epäyhtälö? Tai mikä on epäyhtälön tarkka määritelmä? Vastaukset vaikuttavat vain siihen, miten puhumme matemaattisista ilmauksista suomeksi, eivät mitenkään matematiikan sisältöön tai edes merkintä­tapoihin. Koko epäyhtälön käsite voitaisiin jättää pois matematiikasta, koska kyse on vain tavasta puhua joistakin lauseketyypeistä.

Muotoa x ≠ y olevia ilmauksia kyllä käytetään, mutta yleensä epäyhtälöiksi sanotaan sellaisia lausekkeita, joissa on järjestysoperaattori mukana. Niillä on paljon suurempi merkitys matematiikassa, fysiikassa ym.

Epäyhtäläisyysmerkki (erisuuruusmerkki) ”≠” ole mitenkään harvinainen matematiikan eri tasoilla. Se esiintyy kuitenkin useimmiten melko yksinkertaisissa lausekkeissa, esimerkiksi sellaisessa yhteydessä kuin ”jos x ≠ 0, niin …”. Tällaiset lausekkeet, toisin kuin esimerkiksi <-merkillä muodostetut, eivät yleensä esiinny ratkaistavina ongelmina. Esimerkiksi tyyppiä f(x) < g(x) oleva epäyhtälö voidaan ratkaista siinä mielessä, että selvitetään, millä x:n arvoilla se on tosi. Ratkaisemisessa voidaan käyttää osittain samoja menetelmiä kuin yhtälöiden ratkaisemisessa, esimerkiksi termin siirtäminen puolelta toiselle sen merkki vaihtaen